什么是裴波拉契数列

1. 什么是裴波拉契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
自然中的斐波那契数列
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。

2. 裴波那契数列的计算公式？

方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　∵F(1)=F(2)=1。 　　∴C1*X1 + C2*X2。 　　C1*X1^2 + C2*X2^2。 　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。 　
　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 　　设常数r，s。 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　则r+s=1， -rs=1。 　　n≥3时，有。 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 　　联立以上n-2个式子，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 　　…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 　　=(s^n - r^n)/(s-r）。 　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 
　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 　　解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 　　得α+β=1。 　　αβ=-1。 　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 　　所以。 　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 　　由式1，式2，可得。 　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

3. 裴波那契数列

如果设所求的数列通项为a(n),那么由于这个数列的相邻两项的差为裴波那契数列，所以我们可以得到弟推式：a(n+1)-a(n)=f(n)．由这个弟推公式我们可以得到以下一些式子：a(2)-a(1)=f(1)
a(3)-a(2)=f(2)
a(4)-a(3)=f(3)
.............
a(n-1)-a(n-1)=f(n-1)
a(n)-a(n-1)=f(n-1)
将功赎罪以上式子左右对加我们可以很容易地得到：
a(n)-a(1)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)=s(n-1)(是斐波那契数列的前n-1项和），那么至此，我们的问题就转化为了求斐波拉契数列的前n项和的问题了，下面将给出斐裴波那契数列的前n项和的过程．
我们早已知道，对于斐波那契数列f(n)来说我们有这样一个递推公式，即：f(n+1)=f(n)+f(n-1)(n.2),由这个式子的们可以得到：f(n-1)=f(n+1)-f(n)s,由此我们可以得到：
f(1)=f(3)-f(2)
f(2)=f(4)-f(3)
f(3)=f(5)-f(4)
.............
f(n-1)=f(n+1)-f(n)
f(n)=f(n+2)-f(n+1)
将以上n个式了左右对加可以得到：
f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(n)=f(n+2)-f(2)=f(n+2(-1=s(n).这个式子说明斐波那契数列的前n项和恰好为斐波那契数列的第n+2项减1．
现在，斐波那契数列的求和问题我们也解决了，
由前面得到的那个式子可知a(n)-a(1)=s(n-1),由于a(1)=0.所以：a(n)-0=a(n)=s(n-1)=f(n+1)-1={[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}/√5
-1

4. 裴波那契数列是怎样的数列？

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，应该把它看做巧合还是规律呢？ 　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）因为：经计算可得：an^2-aa=(-1)^(n-1) *）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用

5. 裴波那契数列是怎样的数列？

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 
　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）
　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【奇妙的属性】
　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 
　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）
　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
　　1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
　　2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
　　3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
　　5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
　　6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
　　利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
　　9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
　　10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列
　　在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
　　1
　　1 1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　……
　　过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
　　斐波那契数与植物花瓣
　　3………………………百合和蝴蝶花
　　5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
　　8………………………翠雀花
　　13………………………金盏草
　　21………………………紫宛
　　34、55、89……………雏菊
　　斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
【相关的数学问题】
　　1.排列组合
　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 
　　这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
　　1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
　　2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
　　当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
　　这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
　　3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
　　由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
【斐波那契数列别名】
　　斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
　　一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 
　　我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 
　　第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
　　两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
　　三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
　　－－－－－－ 
　　依次类推可以列出下表： 
　　经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
　　兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
　　表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 
　　这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
　　这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2）n-（1-√5/2） n]（n=1,2,3.....）

6. 裴波那契数列的通项公式？

递推公式：an=a(n-1)+a(n-2)通项公式及推导方法：斐波那契数列公式的推导　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： 　　F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 　　显然这是一个线性递推数列。 　　通项公式的推导方法一：利用特征方程 　　线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2 　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n 　　∵F(1)=F(2)=1 　　∴C1*X1 + C2*X2 　　C1*X1^2 + C2*X2^2 　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5 　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5） 　　通项公式的推导方法二：普通方法 　　设常数r，s 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　则r+s=1， -rs=1 　　n≥3时，有 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 　　将以上n-2个式子相乘，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] 　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) 　　…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) 　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和） 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) 　　=(s^n - r^n)/(s-r) 　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2 　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 　　迭代法 　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式 　　解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2)) 　　得α+β=1 　　αβ=-1 　　构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2 　　所以 　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1 　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2 　　由式1,式2,可得 　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3 　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4 　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 谢谢，希望采纳和好评。注意黑体字上所写的推导方法，这几种方法还是比较经典的。　

7. 什么是裴波那契数列

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式见图

8. 裴波那契数列的通项公式？

递推公式：an=a(n-1)+a(n-2) 通项公式及推导方法：斐波那契数列公式的推导 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……  如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：  F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)  显然这是一个线性递推数列。  通项公式的推导方法一： 利用特征方程  线性递推数列的特征方程为：  X^2=X+1  解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2  则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n  ∵F(1)=F(2)=1  ∴C1*X1 + C2*X2  C1*X1^2 + C2*X2^2  解得C1=1/√5，C2=-1/√5  ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）  通项公式的推导方法二： 普通方法  设常数r，s  使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]  则r+s=1， -rs=1  n≥3时，有  F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]  F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]  F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]  ……  F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]  将以上n-2个式子相乘，得：  F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]  ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1  上式可化简得：  F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)  那么：  F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)  ……  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)  = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)  （这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）  =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)  =(s^n - r^n)/(s-r)  r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2  则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}  迭代法  已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式  解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))  得α+β=1  αβ=-1  构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2  所以 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1  an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2  由式1,式2,可得  an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3  an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4  将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得 an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}  谢谢，希望采纳和好评。注意黑体字上所写的推导方法，这几种方法还是比较经典的。